Một nhà toán học đã tìm ra hướng giải phương trình vi phân sau hơn 190 năm

Nhà toán học Nga Ivan Remizov mới đây đã xây dựng một công thức mang tính phổ quát, mở ra hướng giải cho các bài toán thuộc lĩnh vực phương trình vi phân - nhóm vấn đề từng được xem là không thể xử lý bằng phương pháp giải tích trong suốt hơn 190 năm.

Theo thông tin từ bộ phận báo chí của Đại học Nghiên cứu Quốc gia Trường Kinh tế Cao cấp (HSE), phát hiện này được đánh giá đã tạo ra bước thay đổi căn bản trong cách tiếp cận một trong những lĩnh vực lâu đời của toán học. Bước tiến cũng được cho là có ý nghĩa quan trọng đối với vật lý cơ bản và kinh tế học.

Trong thông cáo của trường, ông Remizov - nhà nghiên cứu cao cấp tại HSE ở Nizhny Novgorod đã đưa ra hình ảnh so sánh nhằm giúp công chúng dễ hình dung về định lý mới.

Ông cho biết nghiệm của phương trình có thể được ví như một bức tranh khổng lồ, rất khó quan sát toàn bộ cùng lúc. Toán học vốn đặc biệt hiệu quả trong việc mô tả các quá trình phát triển theo thời gian, và định lý mới cho phép chia quá trình đó thành nhiều “khung hình” nhỏ, đơn giản hơn.

Theo cách hiểu trực quan, thay vì phải hình dung toàn bộ bức tranh ngay lập tức, định lý này giúp tái dựng hình ảnh bằng cách nhanh chóng phát lại “bộ phim” về quá trình hình thành của nó.

Hiện nay, các phương trình vi phân bậc hai được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế và vật lý để mô tả những quá trình biến đổi theo thời gian. Tuy nhiên, từ năm 1834, nhà toán học người Pháp Joseph Liouville đã chứng minh rằng nghiệm của nhóm phương trình này không thể biểu diễn bằng các hệ số, phép toán đơn giản hay những hàm sơ cấp - tương tự như cách học sinh giải phương trình bậc hai bằng biệt thức trong chương trình phổ thông.

Chính vì vậy, trong gần hai thế kỷ, việc tìm kiếm lời giải giải tích cho loại phương trình vi phân này từng bị coi là nỗ lực gần như vô vọng. Nhiều nhà toán học đã không còn kỳ vọng có thể xây dựng một công thức đơn giản, tương tự cách giải phương trình bậc hai, dành cho nhóm bài toán phức tạp này.

Tuy nhiên, Ivan Remizov đồng thời là nhà nghiên cứu cao cấp tại Viện Các vấn đề Truyền tải Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Nga (RAS) đã tìm ra một hướng tiếp cận mới cho bài toán tồn tại hàng thế kỷ.

Phân tích của ông cho thấy một quá trình phức tạp, liên tục biến đổi hoàn toàn có thể được chia thành vô hạn bước đơn giản. Mỗi bước có thể được xấp xỉ để mô tả hành vi của hệ thống tại một thời điểm cụ thể. Nếu xét riêng lẻ, từng phần chỉ tạo ra một bức tranh sơ khai, nhưng khi số lượng bước tiến tới vô hạn, chúng sẽ liên kết liền mạch, tạo thành đồ thị nghiệm chính xác hoàn toàn.

Bên cạnh đó, việc kết hợp thêm phép biến đổi Laplace đối với các bước này còn cho phép chuyển phương trình vi phân sang dạng các phép tính đại số thông thường. Nhờ vậy, kết quả có thể được suy ra nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Theo ông Remizov, phương pháp mới không chỉ giúp tăng tốc các phép tính đối với những phương trình vi phân đã được ứng dụng trong vật lý và nhiều ngành khoa học khác, mà còn mở ra khả năng hỗ trợ các nhà toán học sớm hơn trong việc tìm kiếm và nghiên cứu những hàm số mới trong tương lai.